考研数学一积分类型与方法总结

一、考研数学一积分部分整体考察概述

1.1 考研数学一积分部分大纲要求与分值分布

根据 2026 年考研数学一大纲，一元函数积分学部分的核心要求包括：理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法，会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分，理解积分上限的函数并会求其导数，掌握牛顿 - 莱布尼茨公式，理解反常积分的概念并会计算反常积分(1) 。

在考研数学一的试卷结构中，高等数学部分占比约 60%（90 分），其中一元函数积分学约占 10.7%（16 分），多元函数积分学约占 23.6%（35 分）。具体到题型分布，一元函数积分学主要出现在选择题（2-3 题）、填空题（1-2 题）和解答题（1 题）中，总分值通常在 15-20 分之间(23) 。

从历年真题分析来看，积分部分的考查重点主要集中在积分计算、积分性质应用和积分应用三个方面。其中，积分计算包括不定积分和定积分的计算，积分性质应用主要涉及对称性、周期性等特殊性质的利用，积分应用则涵盖几何应用（面积、体积、弧长）和物理应用（功、引力、压力、质心等）(245) 。

1.2 近 5 年积分部分出题规律与趋势分析

通过对 2021-2025 年考研数学一真题的分析，积分部分呈现出以下出题规律和趋势：

分值稳定但题型灵活。积分计算题型每年必考，占 10-15 分，主要涵盖不定积分（换元法、分部积分法，重点是三角函数、指数函数与多项式的乘积积分）、定积分（牛顿 - 莱布尼茨公式应用、变限积分求导）等(9) 。定积分的计算常结合对称性简化，反常积分收敛性判断近年频率上升(32) 。

综合性增强。积分题目的综合性越来越强，往往涉及多个知识点的结合。例如，2025 年数学一第 17 题考查有理函数积分，需要先进行部分分式分解，再分别积分(43) 。这种题目既考查了有理函数积分的基本方法，又考查了计算能力。

难度层次分明。积分题目通常分为基础题、中等题和难题三个层次。基础题主要考查基本积分公式和简单的换元积分法；中等题涉及分部积分法、有理函数积分等；难题则往往是积分与其他知识点（如极限、微分方程、级数等）的综合应用(31) 。

重视应用能力。近年来，积分的应用题目比重有所增加，特别是在几何应用和物理应用方面。这类题目不仅要求考生掌握积分计算方法，还需要具备建模能力和实际问题分析能力。

1.3 积分部分复习策略建议

基于上述分析，建议考生在复习积分部分时采取以下策略：

系统掌握基本方法。重点掌握换元积分法（第一类和第二类）、分部积分法、有理函数积分法等核心方法。对于每一种方法，要理解其适用条件、操作步骤和注意事项。建议通过大量练习形成条件反射，看到题目就能快速判断使用哪种方法(219) 。

重视计算能力培养。积分计算往往涉及复杂的代数运算和三角恒等变换，需要具备较强的计算能力。建议平时练习时不要跳过计算步骤，逐步提高计算的准确性和速度。同时，要注意总结常见的计算技巧，如凑微分技巧、配方技巧等(231) 。

强化综合应用训练。积分很少单独出题，通常与其他知识点结合考查。建议加强积分与极限、导数、微分方程、级数等知识点的综合训练。特别是变限积分求导、积分方程求解等题型，是考研的重点和难点(248) 。

注重错题总结。积分部分的易错点较多，如不定积分结果忘记加常数 C、定积分换元后忘记换限、反常积分忽略瑕点等。建议建立错题本，将容易出错的地方记录下来，定期复习，避免在考试中犯同样的错误。

二、有理函数积分题型与方法

2.1 有理函数积分的基本分类

有理函数是指两个多项式的商，即$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$和$Q(x)$都是多项式。根据分子和分母的次数关系，有理函数积分可分为以下几类：

假分式积分：当分子次数大于或等于分母次数（即$m\geq n$）时，称为假分式。对于假分式，首先需要通过多项式除法将其化为一个多项式加上一个真分式的形式(98) 。例如，$\frac{x^4+2x^2+4}{x^2+1}$可以通过长除法化为$x^2+1+\frac{3}{x^2+1}$。

真分式积分：当分子次数小于分母次数（即$m<n$）时，称为真分式。真分式积分是有理函数积分的核心，其基本思路是将复杂的真分式分解为若干个简单分式的和，然后分别积分。

根据分母的因式分解情况，真分式积分又可细分为：

• 分母可分解为不同一次因式的乘积

• 分母含有重因式

• 分母含有不可分解的二次因式

• 分母含有二次因式的重因式

2.2 真分式的部分分式分解法

部分分式分解是处理真分式积分的核心方法，其基本原理是将复杂的真分式分解为若干个简单分式的代数和。分解的一般步骤如下：

第一步：分解分母。将分母$Q(x)$在实数范围内分解为一次因式和二次不可约因式的乘积，即：

$Q(x) = (x-a_1)^{k_1}(x-a_2)^{k_2}\cdots(x-a_s)^{k_s}(x^2+p_1x+q_1)^{m_1}\cdots(x^2+p_tx+q_t)^{m_t}$

其中，$p_i^2-4q_i<0$（即二次因式不可分解）。

第二步：设定部分分式。根据分母的因式分解结果，将真分式分解为：

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^s \left(\frac{A_{i1}}{x-a_i} + \frac{A_{i2}}{(x-a_i)^2} + \cdots + \frac{A_{ik_i}}{(x-a_i)^{k_i}}\right) + \sum_{j=1}^t \left(\frac{B_{j1}x+C_{j1}}{x^2+p_jx+q_j} + \cdots + \frac{B_{jm_j}x+C_{jm_j}}{(x^2+p_jx+q_j)^{m_j}}\right)$

第三步：确定待定系数。通过以下方法确定待定系数：

1. 比较系数法：将等式两边通分，比较分子的同次幂系数，得到方程组求解(94) 。

2. 赋值法：代入特定的$x$值（通常是分母的根），直接求解系数(95) 。

3. 极限法：对等式两边取极限，特别是当$x\to\infty$时，可以确定某些系数。

第四步：分项积分。将分解后的每一项分别积分，其中：

• $\int \frac{A}{x-a}dx = A\ln|x-a| + C$

• $\int \frac{A}{(x-a)^n}dx = \frac{A}{(1-n)(x-a)^{n-1}} + C \quad (n\neq 1)$

• $\int \frac{Bx+C}{x^2+px+q}dx$需要先配方，再利用反正切函数积分公式

2.3 假分式的处理方法

对于假分式$\frac{P(x)}{Q(x)}$（其中$\deg P(x)\geq \deg Q(x)$），处理方法是先通过多项式除法将其化为整式与真分式之和：

多项式除法步骤：

1. 将分子和分母按降幂排列

2. 用分子的最高次项除以分母的最高次项，得到商的第一项

3. 用商的第一项乘以分母，减去这个结果

4. 重复上述步骤，直到余式的次数低于分母的次数

例如，对于$\frac{x^5+x^4-8}{x^3-x}$，通过长除法可得：

$\frac{x^5+x^4-8}{x^3-x} = x^2+x+1 + \frac{x^2+x-8}{x^3-x}$

整式部分的积分很简单，直接使用幂函数积分公式即可。真分式部分则按照前面介绍的部分分式分解法处理。

2.4 特殊类型有理函数积分技巧

除了一般的有理函数积分外，还有一些特殊类型需要掌握：

分子为常数，分母为二次式：对于积分$\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}$，如果分母不能分解，则先配方，再利用公式：

$\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$

分子为一次式，分母为二次式：对于积分$\int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx$，采用 “凑导数法”：

1. 将分子表示为分母导数的倍数加上常数，即$mx+n = A(2ax+b) + B$

2. 分解为两个积分：$A\int \frac{2ax+b}{ax^2+bx+c}dx + B\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}$

3. 第一个积分直接用对数公式，第二个积分配方后用反正切公式

对称型有理函数：某些有理函数具有对称性，可以通过特殊技巧简化。例如，对于$\int \frac{dx}{x^4+1}$，可以利用：

$x^4+1 = (x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$

然后进行部分分式分解。

循环型积分：有些积分在计算过程中会出现原积分，可以通过移项求解。例如，对于$\int \frac{e^x(\sin x+\cos x)}{(\sin x)^2}dx$，可以通过分部积分后移项得到结果。

2.5 有理函数积分典型例题解析

例 1：简单真分式积分

求$\int \frac{x+5}{x^2-3x+2}dx$

解：首先分解分母：$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$

设$\frac{x+5}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$

通分后比较分子：$x+5 = A(x-2) + B(x-1)$

令$x=1$，得$6 = -A \Rightarrow A = -6$

令$x=2$，得$7 = B \Rightarrow B = 7$

因此，$\int \frac{x+5}{x^2-3x+2}dx = -6\int \frac{dx}{x-1} + 7\int \frac{dx}{x-2} = -6\ln|x-1| + 7\ln|x-2| + C$

例 2：含重因式的真分式积分

求$\int \frac{3x-12}{(x-1)^2(x+1)}dx$

解：设$\frac{3x-12}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+1}$

通分后：$3x-12 = A(x-1)(x+1) + B(x+1) + C(x-1)^2$

令$x=1$，得$-9 = 2B \Rightarrow B = -\frac{9}{2}$

令$x=-1$，得$-15 = 4C \Rightarrow C = -\frac{15}{4}$

比较$x^2$项系数：$0 = A + C \Rightarrow A = \frac{15}{4}$

因此，积分$= \frac{15}{4}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{9}{2}\int \frac{dx}{(x-1)^2} - \frac{15}{4}\int \frac{dx}{x+1}$

$= \frac{15}{4}\ln|x-1| + \frac{9}{2(x-1)} - \frac{15}{4}\ln|x+1| + C$

例 3：含二次因式的真分式积分

求$\int \frac{2x^2+3x-1}{x(x^2+1)}dx$

解：设$\frac{2x^2+3x-1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

通分后：$2x^2+3x-1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x$

比较系数：

• $x^2$项：$2 = A + B$

• $x$项：$3 = C$

• 常数项：$-1 = A$

解得：$A = -1$，$B = 3$，$C = 3$

因此，积分$= -\int \frac{dx}{x} + \int \frac{3x+3}{x^2+1}dx$

$= -\ln|x| + \frac{3}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx + 3\int \frac{dx}{x^2+1}$

$= -\ln|x| + \frac{3}{2}\ln(x^2+1) + 3\arctan x + C$

例 4：假分式积分

求$\int \frac{x^5+x^4-8}{x^3-x}dx$

解：先用长除法将假分式化为真分式：

$\frac{x^5+x^4-8}{x^3-x} = x^2+x+1 + \frac{x^2+x-8}{x^3-x}$

对真分式部分分解：$\frac{x^2+x-8}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$

通分后：$x^2+x-8 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$

令$x=0$，得$-8 = -A \Rightarrow A = 8$

令$x=1$，得$-6 = 2B \Rightarrow B = -3$

令$x=-1$，得$-8 = 2C \Rightarrow C = -4$

因此，原积分$= \int (x^2+x+1)dx + 8\int \frac{dx}{x} - 3\int \frac{dx}{x-1} - 4\int \frac{dx}{x+1}$

$= \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x + 8\ln|x| - 3\ln|x-1| - 4\ln|x+1| + C$

三、无理函数积分题型与方法

3.1 根式代换法

根式代换法是处理无理函数积分的基本方法，其核心思想是通过变量代换消去根号，将无理函数积分转化为有理函数积分。

简单根式代换：对于形如$\int f(\sqrt[n]{ax+b})dx$的积分，通常令$t = \sqrt[n]{ax+b}$，则$x = \frac{t^n - b}{a}$，$dx = \frac{nt^{n-1}}{a}dt$，从而将原积分转化为关于$t$的有理函数积分。

例 1：求$\int \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}}dx$

解：令$t = \sqrt[3]{x}$，则$x = t^3$，$dx = 3t^2dt$

原积分$= \int \frac{3t^2}{1+t}dt = 3\int \frac{t^2-1+1}{1+t}dt = 3\int (t-1 + \frac{1}{1+t})dt$

$= 3(\frac{1}{2}t^2 - t + \ln|1+t|) + C = \frac{3}{2}x^{2/3} - 3x^{1/3} + 3\ln|1+\sqrt[3]{x}| + C$

多个根式代换：当被积函数中含有多个不同次数的根式时，可令$t$为各根指数的最小公倍数次根式。例如，对于$\int \frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}$，可令$t = \sqrt[6]{x}$，则$\sqrt{x} = t^3$，$\sqrt[3]{x} = t^2$，$dx = 6t^5dt$。

例 2：求$\int \frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}$

解：令$t = \sqrt[6]{x}$，则$x = t^6$，$dx = 6t^5dt$

原积分$= \int \frac{6t^5}{t^3 + t^2}dt = 6\int \frac{t^3}{t + 1}dt = 6\int (t^2 - t + 1 - \frac{1}{t + 1})dt$

$= 6(\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + t - \ln|t + 1|) + C$

$= 2x^{1/2} - 3x^{1/3} + 6x^{1/6} - 6\ln|1+\sqrt[6]{x}| + C$

复合根式代换：对于形如$\int f(\sqrt{ax^2+bx+c})dx$的积分，通常需要先配方，再根据配方结果选择合适的代换。

例 3：求$\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2+4x+5}}$

解：先配方：$4x^2+4x+5 = (2x+1)^2 + 4$

令$t = 2x+1$，则$dx = \frac{1}{2}dt$

原积分$= \frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+2^2}} = \frac{1}{2}\ln|t + \sqrt{t^2+4}| + C = \frac{1}{2}\ln|2x+1 + \sqrt{4x^2+4x+5}| + C$

3.2 三角代换法

三角代换法是处理含有二次根式积分的重要方法，主要适用于以下三种类型：

**类型一：**** **型

当被积函数含有$\sqrt{a^2-x^2}$时，令$x = a\sin t$（或$x = a\cos t$），利用三角恒等式$1-\sin^2t = \cos^2t$消去根号。

例 1：求$\int \sqrt{a^2-x^2}dx$

解：令$x = a\sin t$，则$dx = a\cos tdt$，$\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$

原积分$= \int a\cos t \cdot a\cos tdt = a^2\int \cos^2tdt = \frac{a^2}{2}\int (1+\cos2t)dt$

$= \frac{a^2}{2}(t + \frac{1}{2}\sin2t) + C = \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + C$

**类型二：**** **型

当被积函数含有$\sqrt{x^2+a^2}$时，令$x = a\tan t$，利用三角恒等式$1+\tan^2t = \sec^2t$消去根号。

例 2：求$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$

解：令$x = a\tan t$，则$dx = a\sec^2tdt$，$\sqrt{x^2+a^2} = a\sec t$

原积分$= \int \frac{a\sec^2t}{a\sec t}dt = \int \sec tdt = \ln|\sec t + \tan t| + C$

$= \ln|\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a} + \frac{x}{a}| + C = \ln|x + \sqrt{x^2+a^2}| + C'$

**类型三：**** **型

当被积函数含有$\sqrt{x^2-a^2}$时，令$x = a\sec t$（或$x = a\cosh t$），利用三角恒等式$\sec^2t-1 = \tan^2t$消去根号。

例 3：求$\int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}dx$

解：令$x = a\sec t$，则$dx = a\sec t\tan tdt$，$\sqrt{x^2-a^2} = a\tan t$

原积分$= \int \frac{a\tan t}{a\sec t} \cdot a\sec t\tan tdt = a\int \tan^2tdt = a\int (\sec^2t - 1)dt$

$= a(\tan t - t) + C = \sqrt{x^2-a^2} - a\arccos\frac{a}{x} + C$

3.3 欧拉代换法

欧拉代换法是处理二次根式积分的另一种重要方法，特别适用于被积函数含有$\sqrt{ax^2+bx+c}$的情况。根据二次三项式的不同情况，有三种欧拉代换：

第一种欧拉代换：当$a>0$时，令$\sqrt{ax^2+bx+c} = t - \sqrt{a}x$

这种代换适用于二次项系数为正的情况，通过代换可以将根号消去。

例 1：求$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}$

解：令$\sqrt{x^2+2x+3} = t - x$，两边平方得：$x^2+2x+3 = t^2 - 2tx + x^2$

整理得：$2x+3 = t^2 - 2tx \Rightarrow x = \frac{t^2-3}{2(t+1)}$

求导得：$dx = \frac{2t(t+1) - (t^2-3)}{2(t+1)^2}dt = \frac{t^2+2t+3}{2(t+1)^2}dt$

代入原积分：$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}} = \int \frac{1}{t - x} \cdot \frac{t^2+2t+3}{2(t+1)^2}dt$

注意到$t - x = t - \frac{t^2-3}{2(t+1)} = \frac{2t(t+1) - t^2+3}{2(t+1)} = \frac{t^2+2t+3}{2(t+1)}$

因此，原积分$= \int \frac{2(t+1)}{t^2+2t+3} \cdot \frac{t^2+2t+3}{2(t+1)^2}dt = \int \frac{1}{t+1}dt = \ln|t+1| + C$

回代$t = x + \sqrt{x^2+2x+3}$，得：$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}} = \ln|x + \sqrt{x^2+2x+3} + 1| + C$

第二种欧拉代换：当$c>0$时，令$\sqrt{ax^2+bx+c} = xt + \sqrt{c}$

这种代换适用于常数项为正的情况。

例 2：求$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}$（用第二种欧拉代换）

解：令$\sqrt{x^2+2x+3} = xt + \sqrt{3}$，两边平方得：$x^2+2x+3 = x^2t^2 + 2x\sqrt{3}t + 3$

整理得：$2x = x^2t^2 + 2x\sqrt{3}t \Rightarrow x(2 - 2\sqrt{3}t) = x^2t^2$

当$x \neq 0$时，两边除以$x$：$2 - 2\sqrt{3}t = xt^2 \Rightarrow x = \frac{2(1 - \sqrt{3}t)}{t^2}$

求导得：$dx = \frac{-2\sqrt{3}t^2 - 2(1 - \sqrt{3}t) \cdot 2t}{t^4}dt = \frac{-2\sqrt{3}t - 4(1 - \sqrt{3}t)}{t^3}dt$

代入原积分，计算过程较为复杂，最终结果与第一种方法相同。

第三种欧拉代换：当$ax^2+bx+c$可以分解为两个实根时，令$\sqrt{ax^2+bx+c} = t(x-\alpha)$，其中$\alpha$是二次式的一个根。

这种代换适用于二次三项式有实根的情况。

3.4 其他特殊无理函数积分技巧

除了上述基本方法外，还有一些特殊的无理函数积分技巧：

倒代换法：当被积函数中分母的次数明显高于分子时，可考虑倒代换$x = \frac{1}{t}$。

例 1：求$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}$

解：令$x = \frac{1}{t}$，则$dx = -\frac{1}{t^2}dt$

原积分$= \int \frac{-\frac{1}{t^2}dt}{\frac{1}{t^2}\sqrt{\frac{1}{t^2}+1}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} = -\ln|t + \sqrt{1+t^2}| + C$

$= -\ln|\frac{1}{x} + \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}| + C = -\ln|\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}| + C = \ln|x| - \ln|1+\sqrt{x^2+1}| + C$

指数代换法：对于含有$e^x$的根式，可以考虑令$t = e^x$。

例 2：求$\int \frac{dx}{\sqrt{e^{2x}+4}}$

解：令$t = e^x$，则$x = \ln t$，$dx = \frac{1}{t}dt$

原积分$= \int \frac{\frac{1}{t}dt}{\sqrt{t^2+4}} = \int \frac{dt}{t\sqrt{t^2+4}}$

再令$u = \sqrt{t^2+4}$，则$u^2 = t^2+4$，$2udu = 2tdt \Rightarrow dt = \frac{u}{t}du$

积分变为：$\int \frac{\frac{u}{t}du}{t \cdot u} = \int \frac{du}{t^2} = \int \frac{du}{u^2-4} = \frac{1}{4}\ln|\frac{u-2}{u+2}| + C$

$= \frac{1}{4}\ln|\frac{\sqrt{e^{2x}+4}-2}{\sqrt{e^{2x}+4}+2}| + C$

配方法结合三角代换：对于复杂的二次根式，可以先配方，再进行三角代换。

例 3：求$\int \frac{dx}{\sqrt{-x^2+4x+5}}$

解：先配方：$-x^2+4x+5 = -(x^2-4x) + 5 = -(x-2)^2 + 9$

令$x-2 = 3\sin t$，则$dx = 3\cos tdt$，$\sqrt{9-(x-2)^2} = 3\cos t$

原积分$= \int \frac{3\cos tdt}{3\cos t} = \int dt = t + C = \arcsin\frac{x-2}{3} + C$

3.5 无理函数积分典型例题解析

例 1：含复合型根式的积分

求$\int \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx$

解：先观察被积函数，分母为$\sqrt{x^2+2x+5}$，可以配方为$\sqrt{(x+1)^2+4}$

分子为$x+1$，正好是分母根号内表达式导数的一半。

因此，可以令$t = x^2+2x+5$，则$dt = 2(x+1)dx$，即$\frac{1}{2}dt = (x+1)dx$

原积分$= \frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C = \sqrt{x^2+2x+5} + C$

例 2：需要拆分的无理函数积分

求$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}$

解：令$t = \sqrt[4]{x}$，则$x = t^4$，$dx = 4t^3dt$

原积分$= \int \frac{4t^3}{t^2 + t}dt = 4\int \frac{t^2}{t + 1}dt = 4\int (t - 1 + \frac{1}{t + 1})dt$

$= 4(\frac{1}{2}t^2 - t + \ln|t + 1|) + C = 2x^{1/2} - 4x^{1/4} + 4\ln|1+\sqrt[4]{x}| + C$

例 3：含参数的无理函数积分

求$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2ax}}$（$a>0$）

解：先配方：$x^2+2ax = x^2+2ax+a^2 - a^2 = (x+a)^2 - a^2$

令$t = x+a$，则$dx = dt$

原积分$= \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - a^2}}$，这是标准的$\sqrt{x^2-a^2}$型积分

根据三角代换公式，令$t = a\sec\theta$，则$dt = a\sec\theta\tan\theta d\theta$，$\sqrt{t^2-a^2} = a\tan\theta$

积分$= \int \frac{a\sec\theta\tan\theta}{a\tan\theta}d\theta = \int \sec\theta d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C$

$= \ln|\frac{t}{a} + \frac{\sqrt{t^2-a^2}}{a}| + C = \ln|x+a + \sqrt{x^2+2ax}| + C$

例 4：需要有理化的无理函数积分

求$\int \frac{dx}{1+\sqrt{1-x^2}}$

解：可以使用有理化技巧，分子分母同乘以$1-\sqrt{1-x^2}$：

原积分$= \int \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{(1+\sqrt{1-x^2})(1-\sqrt{1-x^2})}dx = \int \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx$

$= \int \frac{1}{x^2}dx - \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx = -\frac{1}{x} - \int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx$

对于第二个积分，令$x = \sin t$，则$dx = \cos tdt$，$\sqrt{1-x^2} = \cos t$

积分$= \int \frac{\cos t}{\sin^2t} \cdot \cos tdt = \int \cot^2tdt = \int (\csc^2t - 1)dt = -\cot t - t + C$

$= -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} - \arcsin x + C$

因此，原积分$= -\frac{1}{x} - (-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} - \arcsin x) + C = \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{x} + \arcsin x + C$

四、函数组合积分题型与方法

4.1 分部积分法及其应用

分部积分法是处理两个函数乘积积分的重要方法，其基本公式为：

$\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx$

或简写为：$\int udv = uv - \int vdu$

分部积分法的关键在于正确选择$u$和$dv$。根据经验，可按照 “反对幂指三” 的顺序选择$u$（即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数），排在前面的优先选为$u$(136) 。

基本应用类型：

1. 幂函数与指数函数相乘：$\int x^ne^{ax}dx$

2. 幂函数与三角函数相乘：$\int x^n\sin(ax)dx$，$\int x^n\cos(ax)dx$

3. 幂函数与对数函数相乘：$\int x^n\ln xdx$

4. 幂函数与反三角函数相乘：$\int x^n\arcsin xdx$，$\int x^n\arctan xdx$

5. 指数函数与三角函数相乘：$\int e^{ax}\sin(bx)dx$，$\int e^{ax}\cos(bx)dx$

例 1：求$\int x^2e^xdx$

解：按照 “反对幂指三” 原则，选$u = x^2$，$dv = e^xdx$

则$du = 2xdx$，$v = e^x$

原积分$= x^2e^x - \int 2xe^xdx$

对$\int 2xe^xdx$再次使用分部积分，选$u = 2x$，$dv = e^xdx$

则$du = 2dx$，$v = e^x$

所以$\int 2xe^xdx = 2xe^x - \int 2e^xdx = 2xe^x - 2e^x + C$

因此，原积分$= x^2e^x - (2xe^x - 2e^x) + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

例 2：求$\int x\sin xdx$

解：选$u = x$，$dv = \sin xdx$

则$du = dx$，$v = -\cos x$

原积分$= -x\cos x + \int \cos xdx = -x\cos x + \sin x + C$

4.2 指数函数与其他函数组合

指数函数与其他函数的乘积积分是考研的重点题型，主要包括以下几种类型：

指数函数与多项式相乘：这类积分通常使用分部积分法，通过多次分部积分降低多项式次数，最终转化为基本积分。

例 1：求$\int (x^3+2x^2-5x+1)e^{-2x}dx$

解：使用表格法进行分部积分，设$u = x^3+2x^2-5x+1$，$dv = e^{-2x}dx$

列表如下：

原积分$= (x^3+2x^2-5x+1)(-\frac{1}{2}e^{-2x}) - (3x^2+4x-5)(\frac{1}{4}e^{-2x}) + (6x+4)(-\frac{1}{8}e^{-2x}) - 6(\frac{1}{16}e^{-2x}) + C$

$= -\frac{1}{2}e^{-2x}(x^3+2x^2-5x+1) - \frac{1}{4}e^{-2x}(3x^2+4x-5) - \frac{1}{8}e^{-2x}(6x+4) - \frac{3}{8}e^{-2x} + C$

指数函数与三角函数相乘：这类积分通常需要连续两次分部积分，然后通过移项求解。

例 2：求$\int e^{ax}\sin(bx)dx$

解：设$u = e^{ax}$，$dv = \sin(bx)dx$

则$du = ae^{ax}dx$，$v = -\frac{1}{b}\cos(bx)$

原积分$= -\frac{1}{b}e^{ax}\cos(bx) + \frac{a}{b}\int e^{ax}\cos(bx)dx$

对$\int e^{ax}\cos(bx)dx$再次使用分部积分，设$u = e^{ax}$，$dv = \cos(bx)dx$

则$du = ae^{ax}dx$，$v = \frac{1}{b}\sin(bx)$

所以$\int e^{ax}\cos(bx)dx = \frac{1}{b}e^{ax}\sin(bx) - \frac{a}{b}\int e^{ax}\sin(bx)dx$

将结果代入原积分：

$\int e^{ax}\sin(bx)dx = -\frac{1}{b}e^{ax}\cos(bx) + \frac{a}{b^2}e^{ax}\sin(bx) - \frac{a^2}{b^2}\int e^{ax}\sin(bx)dx$

移项整理：

$(1 + \frac{a^2}{b^2})\int e^{ax}\sin(bx)dx = e^{ax}(\frac{a}{b^2}\sin(bx) - \frac{1}{b}\cos(bx)) + C$

因此，$\int e^{ax}\sin(bx)dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin(bx) - b\cos(bx)) + C$

类似地，$\int e^{ax}\cos(bx)dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos(bx) + b\sin(bx)) + C$

指数函数与反三角函数相乘：这类积分相对较少，但需要掌握基本方法。

例 3：求$\int e^x\arctan xdx$

解：选$u = \arctan x$，$dv = e^xdx$

则$du = \frac{1}{1+x^2}dx$，$v = e^x$

原积分$= e^x\arctan x - \int \frac{e^x}{1+x^2}dx$

第二个积分较为复杂，需要进一步处理。可以使用泰勒展开或其他技巧，但通常在考研中不会要求继续计算。

4.3 对数函数与反三角函数积分

对数函数和反三角函数的积分通常需要使用分部积分法，且它们的原函数不在基本积分表中，因此需要特别注意。

对数函数积分：

例 1：求$\int \ln xdx$

解：设$u = \ln x$，$dv = dx$

则$du = \frac{1}{x}dx$，$v = x$

原积分$= x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C$

例 2：求$\int x^2\ln xdx$

解：设$u = \ln x$，$dv = x^2dx$

则$du = \frac{1}{x}dx$，$v = \frac{1}{3}x^3$

原积分$= \frac{1}{3}x^3\ln x - \int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x}dx = \frac{1}{3}x^3\ln x - \frac{1}{9}x^3 + C$

反三角函数积分：

例 3：求$\int \arcsin xdx$

解：设$u = \arcsin x$，$dv = dx$

则$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$，$v = x$

原积分$= x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx$

对第二个积分，令$t = 1-x^2$，则$dt = -2xdx$，即$-\frac{1}{2}dt = xdx$

积分$= -\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

因此，原积分$= x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$

例 4：求$\int \arctan xdx$

解：设$u = \arctan x$，$dv = dx$

则$du = \frac{1}{1+x^2}dx$，$v = x$